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Mathematische Formeln auf einer Tafel.

Der Klang der Mathematik

Dass sowohl Musik als auch Mathematik mit Zahlenverhältnissen zu tun haben, ist nicht neu. Ein Musikwissenschaftler und drei Mathematiker haben die beiden Disziplinen einander nun noch einen Schritt näher gebracht. Sie untersuchten Klangspektren von Liedern mit mathematischen Methoden und vertonten das fraktale Bild eines Farns.

Mathematik 08.12.2009

Die Schönheit im Auge des Betrachters

Gewöhnlich sind die Trennlinien zwischen Kunst und Wissenschaft klar gezogen: Kunst strebt nach Schönheit, Wissenschaft nach Wahrheit; Kunst und Schönheit sind subjektiv, Wissenschaft objektiv. Wie sich jedoch Mathematik mit Kunst beschäftigen kann und wie kunstvoll Mathematik sein kann, damit befassen sich vier Artikel in der aktuellen Ausgabe der "Notizen der Amerikanischen Mathematischen Gesellschaft" (alle online).

"Wissenschaft ist genauso wenig das Sammeln von Fakten, wie ein Haus eine Sammlung von Ziegeln ist", zitiert Michael Atiyah, Mathematiker der Universität Edinburgh und Träger der Fields-Medaille, in seinem Einleitungstext zu den Beiträgen den französischen Kollegen Henri Poincaré. Für Atiyah vereint Mathematik Kunst und Wissenschaft auf wunderbare Art und Weise, indem sie Sinn ins Universum bringt. Und wenn nach dem englischen Poeten John Keats Wahrheit Schönheit und Schönheit Wahrheit sei, dann könne die Mathematik laut Atiyah durchaus als Kunst durchgehen. Die meisten Menschen würden sie allerdings eher als schwarze Kunst, gewissermaßen als Magie oder Mysterium, wahrnehmen.

Mit Vögeln und Trompeten

Was Beethoven, der Jazzmusiker Benny Goodman und Jimi Hendrix gemeinsam haben und ob Louis Armstrongs Stimme so wie seine Trompete klingt, sieht nach unüblichen Forschungsfragen für Mathematiker aus, wurde jedoch von dreien der solchen gemeinsam mit dem Musikprofessor Gary W. Don von der Universität Wisconsin-Eau Claire näher betrachtet.

Und bei der Suche nach den Antworten wirkt das Ganze auch gar nicht mehr so sonderbar. Die Wissenschaftler benutzen für ihre Analyse nämlich Spektrogramme. Sie zeigen die Frequenzverteilung von Liedern und gesprochener Sprache und werden durch eine spezielle Form der Integraltransformation, die Gabor-Transformation, erstellt.

Anhand der bunten Bilder untersuchten die Forscher Pavarottis Vibrato, verglichen Armstrongs Stimme und Trompetenspiel, warfen einen Blick auf die Dissonanzen in Eric Claptons "Layla" und auf symmetrische Muster in der Musik von Beethoven, Goodman und Hendrix.


Spektrogramm einer Aufnahme des Songs "La vie en Rose" von Louis Armstrong aus dem Jahr 1950.

Darüber hinaus untersuchten die Forscher den Gesang von Vögeln. Die kleinen Terzen des Kuckucks haben laut den Autoren schon im 13. Jahrhundert Musiker inspiriert. Die Spektrogramme aller untersuchten Beispiele haben die Wissenschaftler ins Netz gestellt.

Ein Trick wird entlarvt

Die Spektrogramme machen auch einen Trick deutlich, der in der Shepard-Skala benutzt wird: Bei ihr steigen mehrere Sinustöne, die jeweils eine Oktav weit auseinander liegen, parallel an. Obwohl insgesamt nur eine Oktav durchschritten wird, entsteht die Illusion, dass die Töne permanent weiter ansteigen.


Spektrogramm der Shepard-Skala.


Spektrogramm eines Teils der Motette "Non vos relinquam orphanos" von William Byrd.

Laut Don und seinen Kollegen überlistet die Skala unser Gehirn: Fällt ein Ton aus der Reihe, erwarten wir, dass der nächste Ton im gleichen Muster weiter ansteigt, glauben also, er sei eine Oktav höher, als er es tatsächlich ist. Das gleiche Muster haben die Forscher in den Obertönen einer Motette des englischen Komponisten William Byrd entdeckt.

Fraktale Musik

In einem weiteren Versuch drehten die Forscher den Spieß um und komponierten auf Basis von mathematischen Funktionen ein Lied. Sie fütterten die Bildpunkte eines farnähnlichen Fraktals in ein Spektrogramm und erstellten daraus das Stück "Fern".


Spektrogramm des fraktalen Musikstücks "Fern".


Spektrogramm eines Sierpinski-Dreiecks.

Um die Bildpunkte in Töne zu übersetzen, ließen die Forscher eine Funktion 2.500-mal durchlaufen. Wie die Wissenschaftler selbst schreiben, ist das Stück nur ein Motiv, das erst in eine größere Komposition eingebettet werden müsse. Ein mögliches zweites Motives haben die Forscher bereits konstruiert: anhand des Fraktals Sierpinski-Dreieck.

Galerien und Pantomimen

Die beiden vertonten Fraktale finden sich auch in einem weiteren der vier Artikel zu Mathematik und Kunst. Der Mathematikprofessor Michael F. Barnsley von der Australian National University beschäftigt sich mit den künstlichen Formen nicht nur als Wissenschaftler. Er soll einige davon auch bei Kunstausstellungen verkauft haben.

Barnsley zieht Parallelen zwischen natürlichen und mathematischen Formen. Während in der Biologie Information in der DNA gespeichert werde, bestehe die DNA der Mathematik aus Formeln. Mathematische Formen machten ebenfalls eine Evolution durch, indem sie von Generation zu Generation unter Mathematikern weitergegeben werden.

Unter dem Titel "Das Unsichtbare sichtbar machen" beschreibt der Mathematiker Tim Chartier vom Davidson College in North Carolina im vierten Paper der Serie, wie komplexe Inhalte der Mathematik durch Pantomime, Tanz, Theater, Jonglieren und Magie für Laien leicht verständlich dargestellt werden können. Chartier ist nicht nur Wissenschaftler; es ist auch Pantomime und hat die Kunst bei Marcel Marceau erlernt.

Verborgene Schönheit

In seinem Überblicksartikel greift Atiyah den Vergleich von Poincaré zwischen den Fakten der Wissenschaft und dem Haus aus Ziegel auf, um die Schönheit der Mathematik zu erklären. Die Architektur habe eine Reihe an Funktionen (von der Kirche bis zum Bahnhof), benutze eine Vielfalt an Materialien (von Ziegel bis Glas) und setzte Schönheit auf allen Ebenen um (von kleinen Details bis zu großen Visionen).

Ähnlich vielfältig würden sich mathematische Theorien präsentieren. Die Schönheit sei jedoch nicht physisch, sondern intellektuell und daher schwerer wahrzunehmen.

Mark Hammer, science.ORF.at

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