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Zahlen vor blauem Hintergrund

Symmetrien mit Vorhersagekraft

Es gibt wohl kaum ein Wissenschaftsgebiet, wo man nicht vom Kleinen auf's Große schließen will: von den Molekülen auf die Eigenschaften einer Substanz etwa oder vom SMS-Verhalten der Bevölkerung auf ein Wahlresultat. Bei komplexen Systemen versagen aber oft klassische mathematische Regeln.

Mathematik 05.04.2011

Deshalb wurde vor einigen Jahren eine "Superstatistik" entwickelt. Wissenschafter der Medizinuni Wien haben nun gemeinsam mit US-Physiknobelpreisträger Murray Gell-Mann eine Methode veröffentlicht, wie man im Vorhinein klären kann, ob es in einem System überhaupt Sinn macht, diese "Superstatistik" anzuwenden.

Die Studie:

"Generalized entropies and the transformation group of superstatistics" ist in den "Proceedings of the National Academy of Sciences" erschienen (doi:10.1073/pnas.1103539108).

Von Atomen und Gasen

"Wenn man Statistik für Komplexe Systeme machen will, kommt man an einem Blick zurück in die Geschichte und an Ludwig Boltzmann nicht vorbei", erklärte der Physiker Stefan Thurner vom Institut für Wissenschaft komplexer Systeme der Medizinuni im Gespräch mit der APA. Boltzmann vertrat bereits Mitte des 19. Jahrhunderts die Ansicht, dass die Welt aus Atomen und Molekülen besteht und konnte mit Hilfe der Statistik von Atomen die stofflichen Eigenschaften von Gasen richtig vorhersagen.

Ein zentraler Begriff dabei ist "Entropie" als Maß für die Unordnung. Bei komplexen Systemen, wie bei lebendiger Materie oder Gesellschaften, bricht dieser Zusammenhang allerdings vollkommen zusammen.

Thurner und Gell-Mann

Stefan Thurner ist neben seiner Tätigkeit an der Medizinuni Wien auch externer Professor am Santa Fe-Institute im US-Bundesstaat New Mexico, eine 1984 gegründete, private gemeinnützige Einrichtung in Santa Fe. Dort wird an einer Theorie komplexer adaptiver Systeme in Physik, Biologie, Technik und Sozialwissenschaften gearbeitet. Murray Gell-Mann, der mit der Symmetrie von Elementarteilchen berühmt geworden ist, ist eines der Gründungsmitglieder des Instituts. Gell-Mann wird auch an der "European Conference on Complex Systems" teilnehmen, die vom 12. bis 16. September in Wien stattfinden und von Thurner gemeinsam mit dem Mathematiker Karl Sigmund vorbereitet wird.

Grundprinzipien der Entropie

Seit den 1980er Jahren gibt es laut Thurner aber "Hoffnung, dass man mit der Boltzmann'schen Grundphilosophie nicht nur Gase, sondern auch kompliziertere Dinge beschreiben kann". Dabei kann die Entropie nicht mehr so aussehen wie bei Boltzmann, der von "idealen Gasen" ausgegangen ist, in dem die Teilchen keine Kräfte spüren, also nicht in starker Wechselwirkung zueinanderstehen.

Aus diesem Grund wurden in den vergangenen Jahrzehnten "ungefähr 30 verschiedene Entropie-Begriffe für verschiedenste Anwendungen vorgeschlagen, das ist ein relativ großer Sauhaufen", so Thurner. Er hat gemeinsam mit seinem Kollegen Rudolf Hanel und Gell-Mann nun drei Grundprinzipien formuliert, die jede Entropie erfüllen muss, und mit denen sich alle diese vorgeschlagenen Entropien aus einer einzigen herleiten und klassifizieren lassen.

Handhabung komplexer Systeme

Diese Mindeststandards haben die Wissenschaftler in Verbindung mit der vor einigen Jahren vorgeschlagenen "Superstatistik" gebracht, mit deren Hilfe Systeme mit starker interner Wechselwirkung statistisch beschrieben werden können. "Es gibt hier jede Menge Anwendungen, auch in Bereichen, an die man nie gedacht hätte, wie z.B. die Statistik von Zugverspätungen oder von Überlebenswahrscheinlichkeiten für Brustkrebs", so Thurner.

Kombiniert man nun die Entropie eines Systems mit der "Superstatistik" zeigen sich gewisse mathematischen Symmetrien. "Wenn man in einem System eine solche Symmetrie nicht findet, vergessen Sie, dass sie dort Mikro- und Makrowelt im Sinne Boltzmanns verbinden können, das geht dann einfach nicht", betonte der Experte. Gibt es dagegen diese Symmetrie, dann besteht "die berechtigte Hoffnung, mit Hilfe der 'Superstatistik' einen Schritt in der Handhabung solcher Systeme weiterzukommen".

science.ORF.at/APA

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